数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.10.22

作者：本质教育魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

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数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：文字、数学语言、图形，将题目中出现的这三者进行合理的相互间转化。

特殊化：根据题目或者选项的限制条件，取一些特殊值或特殊的式子，寻找特殊规律，再推及一般规律，在高难度的题中可以用特殊化进行猜想。

盯住目标：紧盯目标，联想相关的定理、性质、公式，与题目已知联系起来，进行解题，在难题中有时候也可以用盯住目标联想公式进行合理猜想。

三招虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学。

2018.10.22更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

已知函数 $f(x)=(2+x+ax^2)ln(1+x)-2x$

（1）若a=0，证明：当-1<x<0时，f（x）<0；当x>0时，f（x）>0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

三招破题

（1）盯住目标：证明两个范围内的函数分别大于和小于0，那么我们先把f(x)写出来看看

a=0时，f(x)=(x+2)ln(1+x)-2x，那么当-1<x<0时，f（x）<0，可以翻译成在这个区间内， $f(x)_{max}<0$ ；当x<0时，f（x）>0，可以翻译成在这个区间内， $f(x)_{min}>0$

那此时我们这个题的目标就变成了求相应区间内的函数最值，怎么求，这是个导数题，是不是联想到求导。

$f'(x)=ln(1+x)+\frac{2+x}{x+1}-2=ln(1+x)-\frac{x}{x+1}$ ，无法直接判断其正负号，

$f''(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}$ ，这样是不是简洁多了，那接下来我们是不是只需要判断题目所给的区间中它们的正负号和单调性即可。

①当x>0时，f”(x)显然大于0，那么f'(x)在x>0时单调递增，f'(x)>f'(0)=0，所以f(x)在x>0时单调递增，所以f(x)>f(0)=0.

①当-1<x<0时，显然f'(x)小于0，那么f'(x)在-1<x<0时单调递减，f'(x)<f'(0)=0，所以f(x)在-1<x<0时单调递减，所以f(x)<f(0)=0.

第二问将有大量文字！！！前方高能，非战斗人员请尽快撤离！！！

（2）盯住目标：我们需要求出当a=?时，x=0是f（x）的极大值点。那我们的目标是不是等价于先求出f(x)的极大值点是什么式子，如果不能确定的求出来是不是可以利用特殊猜想范围，然后求a=？时，这个点会等于0.

$f'(x)=\frac{ax^2-x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)}{x+1}$ ，这个式子无法直接判断正负性，而分子显然是正的（指数函数定义域），所以我们只需要考虑分子，即再对分子求一次导。

令 $h(x)=ax^2-x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)$ ，

$h'(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1)$ ，那此时没有头绪怎么办，我们来特殊化试试，最大值点意味着在x=0这个点要出现驻点和拐点，那么x=0时，h'(x)=0，那如果我们猜想a=0呢（看看第一问），此时是不是h'(x)=ln(x+1)，a=1时呢，h'(x)=4x+(4x+3)ln(x+1)，这时候当x>0时，两种情况下的h'(x)显然是>0的，那么h(x)>h(0)=0，即f'(x)>0，即f(x)在x>0时单调递增，此时x=0不可能是最大值点。

那么此时通过这里的猜想我们是不是可以猜想出a $\geq$ 0，x>0时不合题意，再想，确实是可以不用计算就看出来的，我们主要是找到这个讨论a的分界点。考试时可以直接写，不用猜想。

那么a<0时，不能用眼睛看出来了，我们计算下， $h''(x)=8a+4aln(x+1)+\frac{1-2a}{x+1}$

a<0时，这个式子不用计算，我们能看出来h”(x)是个减函数，那么此时我们需要求f(x)的极大值，是不是相当于f'(x)的正负号改变的临界点，即h'(x)正负号改变的临界点。

①同样，令h”(x)=0，解得 $a=-\frac{1}{6}$ ，接下来怎么分区间讨论符号呢，第一问不是摆设哦，OK，我们用第一问的区间来试一试，当-1<x<0时，h”(x)>0，h'(x)单调递增，

当x>0时，h”(x)<0，h'(x)单调递减，此时x=0为f(x)极大值点。

但是不要太高兴了，毕竟这里我们只验证了充分性，我们还需要当a取其他时可不可能！

② $-\frac{1}{6}<a<0时$ ，h”(0)=1+6a>0，刚才我们上面说过h”(x)是个减函数，我们的目标失去找h'(x)正负号改变的临界点，那么x=0时h”(x)>0，那么肯定在0的右边，有一个点可以让h”(x)<0，此时我们联想下放缩法，需要找到一个h”(x)<什么东西，那么，在0的右边，我们可以直接把分母去掉，相当于放大，等于：h”(x)<4aln(1+x)+1+6a，那么令不等式的右边小于0，得到 $x>e^{-\frac{1+6a}{4a}}-1$ ，即在这个范围下，4aln(1+x)+1+6a<0。