高中数学思维导图与概念定理总结

0. 总纲

学好数学,基础至关重要。基础不好,即使你再聪明(例如和历史上的大数学家们一样聪明),你也不可能在考试的2小时内倒推数学家们数百年的研究成果,正所谓巧妇难为无米之炊。那如何建立牢靠的基础呢?我们认为有三个方面很重要:

1) 精读概念,定理:数学每一个概念的描述都是十分精炼且严谨的,可以说没有一个字是多余的,因此会学习的人懂得仔细品味每一个概念和定理,准确掌握其意思。

2) 思维导图-记忆的窍门:准确理解之后我们需要把这些概念记忆下来。联想是记忆的利器,例如在记忆英文单词的时候,我们可以通过这样的模式:
(1)简单词:husband(丈夫),(2)由此学习一个词根-band-,这个词根就表示连接,边界的意思,而丈夫husband就是和一个女人有连接的男人。由此,我们就可以(3)学习一系列的高级词了: 例如:abundant, a是常用前缀表示否定,-bund-=-band-表示边界, -ant是后缀表明是形容词,那么abundant -> 没有边界,用来形容东西很多,没有边界(数不过来);而bandage就表示绷带(-age是后缀,表明是名词),bandage就是用来连接(伤口)的东西。
在上面的例子中,词根就是联想记忆的利器。数学中的“词根”就是思维导图。借助这个框架,我们就可以把各种纷繁芜杂的知识点联系起来,从而让我们对各个定理,定义,方法“信手拈来”。再加上良好的数学思维(本质教育李泽宇三招TM+化简),解决高考难度的各种数学题不就是小菜一碟?

3) 费曼学习法,知行合一:你是否准确掌握了一个概念不是靠“我认为”,“我觉得”来主观判断,而是通过实践来检验。如果你能够1)自己回忆起每一章的思维导图,并借助其2)在短时间内用自己的话清楚地描述每一个概念和定理,那么恭喜你,你有扎实的数学基础。否则,不好意思,你没有。
测试:你可以试着问自己以下问题,看看能否在1,2分钟内准确回答
a) 什么是双曲线?请给出双曲线的两个不同定义
b) 有哪五个定理可以证明线面垂直?
c) 什么叫做随机变量?什么叫做离散型随机变量的概率分布列?
如果你不能好好回答,那说明你的基础不够扎实,并一定能从我们的这套高中数学思维导图与概念总结中受益。

中学数学的大框架:

数学语言与日常生活语言(例如中文,英文):
日常生活语言,例如中文和英文,容易产生歧义,不利于我们做严谨的逻辑推理。因此数学家们开创了各种数学语言,在中学阶段主要包括三种基本的数学语言:

1. 代数语言:所谓代数(algebra),就是用字母代表数。这是由法国大数学家笛卡尔在17世纪提出。既然用字母代表数,顺其自然的,我们便有了代数式,例如`sqrt(3x^2-18)`.
当一个代数式=0,例如`sqrt(3x^2-18)=0`,我们就有了方程(equation)。
当一个代数式不等于0,例如`sqrt(3x^2-18)\gt0(\lt0)`,我们就有了不等式(inequality).
而`y=sqrt(3x^2-18)`即形成了函数(function)。
而代数就是主要研究代数式(例如因式分解),方程,不等式和函数的学问。

2.几何语言:从欧几里得的《几何原本》开始,数学诞生了几何语言,最核心的就是画张图。从我们初中接触的平面几何,到高中接触的向量几何和立体几何都属于几何语言。

3. 代数语言与几何语言的互译 – 建系:代数语言的好处是精确,缺点是比较抽象,不直观;而几何语言的好处是直观具体,但缺点是不精确。因此笛卡尔提出了坐标系的概念,通过坐标系(直角坐标系,极坐标系等)将代数语言(方程)和几何图形之间构建了一一对应的关系(互译),从而产生了解析几何等学问,做到所谓的“数形结合”。

集合和概率的语言:集合论是现代数学的基石。随着数学的不断发展,数学家们提出了集合的概念,并以此为基础提出了概率的概念(事件就是样本点的集合),这也是中学阶段同学们需要掌握的最后一种数学语言。



作业:
1. 整个中学数学有哪3门基本的数学语言?其中的两门语言是如何做到互译的?
2.通过理解上面的描述,自己在草稿纸上默写出上面的思维导图。

1. 集合

0. 集合的定义:把具有相同属性的不同对象(distinct objects)放在一起组成的整体,叫做集合(set)。集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)。我们一般用大写字母A,B等表示集合,而我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记作∅。

概念品味:
(1) 对象(object):这个对象可以是任意对象,例如人,数字,篮球等。因此集合的定义是非常宽泛的,这也是为什么集合论有资格作为现代数学的基础。
(2) 不同(distinct):这个也称为集合的互异性,即集合中的任意两个元素互不相同

集合的表示: 有了定义,我们就开始用符号或图形语言来表示集合(正如总纲说的,日常生活语言有歧义)。

列举法: 我们通过把集合中的元素一一列举出来并放入{ }中来表示集合。例如`N={0,1,2,3,4,…},Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}`分别表示自然数集和整数集。 再如:{小明,小王,小张}

描述法: 注意前面集合的定义,“具有相同属性的不同对象”,所谓描述法,就是去描述这个“相同属性”。我们先写出元素的一般形式,然后加上竖线,再在竖线后面描述集合的元素的公共属性。中学阶段最常见的集合是数集,我们用`{x|x有属性P}`来表示,另外点集也很常见,我们用`{(x,y)|x有属性P_1,y有属性P_2}`来表示。 以下3个集合虽然表示方法不同,但都是同一个集合: `A={…,-4,-2,0,2,4,…}={x│x=2k,k∈Z}={y|y=2(n-1),n∈Z}`

韦恩图: 我们通常用一个圆来代表一个集合。

集合的关系:
描述好一个集合后,我们来研究2个集合,于是有了集合之间的关系。
第一个重要的概念就是子集。注意,我们规定空集是任意集合的子集!若A不是空集,若A中的任意元素都是B中的元素,我们称A那么我们称A是B的子集(subset),记做`A⊆B`或者`B⊇A`。
这才是子集概念的真正理解:
`A⊆B≜{(A=∅),(text{∀a∈A,a∈B(A≠∅)}):}`
例如:“集合`A={x│a-1\ltx\lt2a}`是集合`B={x│-2\ltx\lt5}`的子集”这句话翻译为数学语言包括: 情况(1):A=∅
即`2a≤a-1⇔a≤-1`,这时`A=∅`一定是集合B的子集
情况(2):`A≠∅`,即`a\gt-1`
这时还需要满足:`{(a-1≥-2),(2a≤5):}`即`-1\lta≤5/2` 综合起来,`a≤5/2`就是“集合A是集合B的子集”这句话翻译后的数学语言

若`A⊆B`且`A⊇B`, 称集合A和B相等,记为A=B。
若`A⊆B`且存在一个元素`b∈B`,`b∉A`, 我们称A是B的真子集(proper subset),记为`A⊂B`或者`A⊊B`。例如`A={x│-5\ltx\lt1}`就是 `B={x│-5\ltx≤1}`的真子集,因为`1∈B`,`1∉A`

集合之间的运算
集合A,B的公共元素组成的集合称为A,B的交集(Intersection),记为`A∩B`,即: `A∩B={x|x∈A且x∈B}`
交集这个概念掌握的核心就是一个字“且”(逻辑连接词),或者英文中的“and”
由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,叫做集合A,B的并集(Union),记为`A∪B`。即`A∪B={x|x∈A或x∈B}`
并集这个概念掌握的核心就是一个字“或”(逻辑连接词),或者英文中的“or”

在逻辑上,我们还有一个重要的连接词“否(not)”,这个如何用集合来表示呢? 若我们说A为偶数集,那么“非A”表示什么呢?表示奇数集(不包括偶数的整数集)?表示不包括偶数的有理数集?不包括偶数的实数集?还是不包括偶数的复数集?这是有歧义的,因此在准确定义“非”这个概念之前,数学家要引入全集的概念。全集的英文叫做“universe”,就是宇宙的意思,我们所有要讨论的集合都是基于这个“宇宙”之上。这样,我们对于“非”就可以完美的定义了: 由全集U中不属于A的元素组成的集合称为A的补集(Complement), 记为`∁_U A`或者`A ̅`,即`∁_U A={x|x∉A,x∈U}`。补集这个概念掌握的核心就是一个字“非”(逻辑连接词),或者英文中的“not” 上面的例子中,若我们规定全集U是整数集,那么`∁_U A`(理解为“非A”)就是奇数集。 我们规定,一般不特别强调的话实数集R是全集。

那么我们把交,并,补相互组合,就形成了以下的运算法则:

  交集`A∩B` 并集`A∪B` 补集`∁_U A`
交集`A∩B` 结合律:`(A∩B)∩C=A∩(B∩C)` 分配律:`(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)` De Mogan律:`∁_U (A∩B)=∁_U A∪∁_U B`
并集`A∪B` 分配律:`(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)` 结合律:`(A∪B)∪C=A∪(B∪C)` De Mogan律:`∁_U (A∪B)=∁_U A∩∁_U B`
补集`∁_U A` `∁_U A∩A=∅` `∁_U A∪A=U` `∁_U (∁_U A)=A`

作业:默写出集合这一部分的思维导图,并用费曼学习法,即用自己的话正确复述每一个概念和定理。

2. 不等式

正如总纲展示的,不等式是代数学中极为重要的一环。首先什么是不等式?不相等的式子就是不等式。不相等等价与什么?对于实数而言,就是大于或者小于。因此不等式的基本用法之一就是比较大小:而对此我们有以下两个基本的公式:

(1) 求差:a-b>0⇔a>b, a-b<0⇔a (2) 求商:若a>0,b>0,a/b>1⇔a>b,a/b<1⇔a

不等式的性质:

而从小学到中学,我们的学习的运算也开始逐渐复杂起来,从最开始的加法`(+)`到减法`(-)`,乘法`(×)`,除法`(÷)`,乘方(`x^n`),开方`(rootnx)`,以及绝对值`(|x|)`。那么我们的不等式得基本性质也是对应于这些运算(以下以”`gt`”为例子,对于“`lt`”,“`≥`”“`≤`”也适用):
(1)加法:`a\gtb⇔a+c\gtb+c`
(2)减法:`a>b⇔a-c>b-c`
不等式两边加减同一个实数,不等式不变号
(3)乘法:若`c>0,a>b⇔ac>bc; d\lt0,a>b⇔ad\ltbd`
(4)除法:若`c>0,a>b⇔a/c>b/c; d\lt0,a>b⇔a/d\ltb/d`
不等式两边同乘以/除以一个正数,不等式不变号;同时乘以/除以同一个负数,不等式变号
(5)乘方:`a,b>0,n∈Z^+,a>b⇔a^n>b^n`
(6)开方:`a,b>0,n∈Z^+,a>b⇔(rootna)>(rootnb)`
(7)绝对值:`b\gt0,|a|\ltb⇔-b\lta\ltb; |a|\gtb⇔a\gtb`或`a\lt-b; |a|\gt|c|⇔a^2\gtc^2`

解不等式:
在高中阶段我们主要研究一元不等式。所谓解不等式,要找出满足某不等式(不等式组)`f(x)>g(x)`的所有`x`的取值范围,即将其转化为`x\gta,x\ltb,x≥c,x≤d`这样的形式。
和解方程一样,不能有增根,也不能失根。这就要求我们对不等式做出同解变换,也就是等价变换或者充要变换。
这就是为什么我们上面在描述不等式的性质的时候特别用了等价符号“⇔“的原因,这样解出来的不等式才不会有增根,也不会失根。因此,解不等式实际就是利用上面不等式的性质化简不等式的过程。而化简就是数学思维 – 李泽宇三招TM+化简中的化简。其中一条就是:
加法`(+)`,减法`(-)`,乘法`(×)`,除法`(÷)`,乘方`(x^n)`,开方`(rootnx))`,绝对值`(|x|)`
从左到右越来越复杂,从右到左就是化简,“去绝对值”,“去根号”,“降次”,“去分母”,而这就依靠不等式的性质。
一次不等式:
`ax\gtb`
根据性质(4)我们需要讨论`a`的正负,即`a>0,a<0,a=0`三种情况来化简这个式子
一元二次不等式
任何一个一元二次不等式都可以转化为下面两种形式的一种:
`ax^2+bx+c>0,a>0`
`ax^2+bx+c<0, a>0`
我们实际上是利用学习过的一元二次函数的性质来解一元二次不等式:
取`y=ax^2+bx+c (a>0)`
记方程`ax^2+bx+c=0 (a>0)`的根`(Δ≥0)`为`x_1,x_2, x_1≤x_2,`于是我们有:
因此,讨论Δ的取值并利用函数图像来“翻译”是我们解一元二次不等式的常用方法

高次不等式
核心就是通过因式分解来化简(本质是降次)。分解为因式后,通过数轴标根的方法来化简
例如:`x^3+3x^2>2x+6`
`⇔x^2 (x+3)>2(x+3)`
`⇔(x^2-2)(x+3)>0`
`⇔(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x+3)>0`
因式分解为`(x-x_1 )^(k_1 ) (x-x_2 )^(k_2 )…(x-x_n )^(k_n )>0`的形式,注意x的系数均为正,然后从最右边开始,遵循“奇穿偶不穿”画图(这里的“奇偶”指的是`k_1,k_2,…,k_n`)
`“>0”`就是x轴的上方,`“<0”`就是下方
(核心就是“正×正=正,正×负=负,负×负=正)
分式不等式
`f(x)/g(x) >0⇔{(f(x)g(x)>0),(g(x)≠0):}`(对于`≥,<,≤`也成立)进而转化为高次不等式
5.无理不等式
`\sqrt(f(x))>\sqrt(g(x))⇔{(f(x)≥0),(g(x)≥0),(f(x)>g(x)):}`
`\sqrt(f(x))\ltg(x)⇔{(f(x)≥0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2):}`
`\sqrt(f(x))>g(x)⇔{(f(x)≥0),(g(x)≥0),(f(x)>[g(x)^2]):}`or `{(f(x)≥0),(g(x)<0):}`
(不用死记,核心就是我们要满足`a,b>0`,才能利用`a>b⇔a^n>b^n`)
绝对值不等式
利用
`b\gt0,|a|\ltb⇔-b\lta\ltb`;
`b>0,|a|>b⇔a>b`或`a<-b`;
`|a|>|c|⇔a^2>c^2` 去绝对值化简即可
(若`b<0`:
`|a|\ltb⇒a∈∅`
`|a|>b⇒a∈R`)
于是我们进一步扩展不等式的思维导图:

不等式中还有非等价关系的性质:
传递性:
(1) `a>b,b>c⇒a>c`
(2) `a>b,c>d⇒a+c>b+d`
(3) `a>b>0, c>d>0⇒ac>bd`
绝对值不等式:
`|a+b|`
这个绝对值的代数式的关键就是`a,b`是否同号
若`a,b`同号,`|a+b|=|a|+|b|`
若`a,b`异号,`|a+b|=||a|-|b||`
而三者间有以下不等关系:
`||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|`
而这个的推论即为:
`|a_1+a_2+⋯+a_n |≤|a_1 |+|a_2 |+⋯+|a_n |`
基本不等式:
均值不等式: `a_1,a_2,⋯,a_n>0`
调和平均数`H_n=1/(∑_(i=1)^n1/a^i )`(记忆方法:除法)
几何平均数`G_n=rootn(∏_(i=1)^na_i )`(记忆方法:乘法)
算数平均数`A_n=(∑_(i=1)^na_i )/n`(记忆方法:加法)
方幂平均数`Q_n=\sqrt((∑_(i=1)^na_i^2 )/n)`(记忆方法:平方和)
我们有`H_n≤G_n≤A_n≤Q_n`,当且仅当`a_1=a_2=⋯=a_n`时等号成立
柯西不等式:
`(a_1 b_1+a_2 b_2+⋯a_n b_n )^2≤(a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2 )(b_1^2+b_2^2+⋯+b_n^2 )`
`a_i,b_i∈R(i=1,2,⋯,n)`
当且仅当`a_1=a_2=⋯=a_n=0`或`b_i/a_i =k`"(常数)" 时等号成立`(i=1,2,⋯,n)`
不等式与最值:
不等式经常用来求最值,注意以下两个条件:
求`f(x_1,x_2,x_3,⋯,x_n )`的最大(小)值
需要满足以下两个条件:
1)`f(x_1,x_2,x_3,⋯,x_n )≤a`(a"是常数)"
2)等号可以成立,即最大值存在
口诀:利用均值不等式求最值得时候,由于均值不等式要求`a_1,a_2,⋯,a_n>0`,所以我们有“一正二定三相等“这样的口诀。
这样我们就最终得出不等式一章的整个思维导图:


作业:默写出不等式这一部分的思维导图,并用费曼学习法,即用自己的话正确复述每一个概念和定理。

3. 函数

定义: (一元)函数:若`A,B`为非空数集,根据对应法则`f`,若对`A`中的任意元素`x`,在`B`中都有唯一确定的元素`y`与之对应,那么我们把映射`f:A→B`称作从`A`到`B`的一个函数,记做`y=f(x)`,`x`的取值范围,即`A`,称之为函数的定义域。而函数值`y`的集合`{y|y=f(x),x∈A}`称为函数的值域。

函数的定义是非常重要的。现在我们一点一点地来品味函数的定义:
1.函数的有三要素:定义域,值域和对应法则
2.对应法则必须是映射,即对于每一个自变量的取值,有且仅有一个函数值与之对应。换句话说,对应关系必须是一对一或者多对一,而不能够是一对多。
例如:`y^2=2x`,由这个式子对应的以x为自变量,`y`为函数值的对应法则是映射吗?
当`x=1/2,y=±1`,一对多,因此不是函数
3.定义域通常是问题给定的(arbitrary),若不指明定义域,指的为使得对应法则有意义的自变量得取值范围

在中学阶段,我们有且仅有3种无意义的情况:
1)分母为0
2)偶次根号下的式子小于0,即`root(2n)(x),x<0`
3)对数表达式`log_a⁡x,x≤0(a>0,a≠1)`
因此如果不特别说明,我们需要找到的定义域要满足:
1)分母不为0;
2)偶次根号下的式子大于等于0,即`root(2n)(x),x≥0`
3)对数表达式`log_a⁡x,x>0(a>0,a≠1)`

例如:`y=ln⁡(x-6)/\sqrt(x-5)`的定义域:
(1)`x≠5`
(2)`x-5≥0`
(3)`x-6>0`
综上得:`x>6`,即`x∈(6,+∞)`

4.一个函数确定当且仅当对应法则和定义域确定
`y=f(x)=x^2,y=g(x)=x^2,x∈[-1,1]`,这两者是同一个函数吗?
答案是否定的,记住:若定义域不同,哪怕对应法则相同,也是不同的函数。
重要结论:从今天开始,看到函数,首先想都不要想,把定义域写出来
很多同学没有做这一步,不是粗心,而是概念不清。

由于对应法则是映射,因此当定义域和对应法则确定了,值域也就确定了。因此严格来说,函数只有定义域和值域两个要素。

5.函数符号与复合函数:`f(x)`,这个符号(代数语言)是大数学家欧拉发明的。 当自变量取值为a的时候,函数`f(x)`的取值就记为`f(a)`,表示`x=a`

那么`f(x-a)`表示什么?这个表示另外一个函数`g(x)=f(x-a)`,这个函数的对应法则`g`是把`f(x)`中的`x`均用`x-a`替换后的来的。`g(x)=f(x-a)`的自变量还是`f(x-a)`中的`x`,而不是`x-a`若`f(x)`的定义域是`D`,例如`D=[b,c]`,那么`g(x)=f(x-a)`的定义域为`x-a∈[b,c]⇔x∈[b+a,c+a]`

这样我想同学们对这个函数符号的用法就真正了解了,我们后续会将其和函数的性质例如奇偶性,常见变换(例如平移变换)结合。

我们把`x-a`一般化,变为`k(x)`,那么`g(x)=f(k(x))`称为为复合函数,其中`x`的定义域是使得`g(x)∈D,k(x)`有意义的`x`的取值范围。

我们可以开始总结这一部分的思维导图了:

函数的基本性质:
函数`f(x)`,定义域为`x∈D`

1)奇偶性:
若`∀x∈D,f(-x)=f(x)`,我们称该函数为偶函数;
若`∀x∈D,f(-x)=-f(x)`,我们称该函数为奇函数;

奇偶性是函数整体的性质(`∀x∈D`),首先,奇函数或者偶函数的定义域必须关于原点对称,否则`f(-x)=f(x)`式子没有意义!
例如:`f(x)=x^2,x∈[1,2]`,这个函数是偶函数吗?答案是否定的,因为定义域不关于原点对称(`f(1)`对应的`f(-1)`没有意义)

奇偶性的几何意义:奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称。(一个图像是中心对称图形和轴对称图形的定义,参加初中基础总结。)

为什么数学家要研究奇偶性?
因为我们只需要研究x>0的情况,剩下的一半可以通过对称性解决,大大节省了我们研究函数的时间。

奇函数还有2个特殊性质:
(1) 若`f(x)`是奇函数,且`0∈D`,那么`f(0)=0`
(2)若`f(x)`是奇函数,且最大值最小值存在,那么其最大值`M`和其最小值`N`的和`M+N=0`

2) 单调性:
函数解析式是代数语言,通过直角坐标系对应的函数图像就是其几何语言。函数图像对于我们理解函数至关重要(代数翻译为几何,数形结合)。

画出函数图像最关键的一个就是其单调性,用中文描述,单调递增就是“随着x的增大,函数值也增大”,用准确的数学语言描述如下:

若`f(x)`的定义域为`D`,若对于其定义域内的某区间`D_1,∀x_1,x_2∈D_1` 且`x_1\ltx_2`,有`f(x_1 )\ltf(x_2 )`, 那么我们称函数`f(x)`在区间`D_1`内为单调增函数(简称增函数),而称`D_1`为`f(x)`的单调增区间。
类似的,若`f(x)`对于其定义域内的某区间`D_2,∀x_1,x_2∈D_1` 且`x_1\ltx_2`,有`f(x_1 )>f(x_2 )`, 那么我们称函数`f(x)`在区间`D_2`内为单调减函数(简称减函数),而称`D_2`为`f(x)`的单调减区间。
注意,和奇偶性不同,函数的单调性是针对于其定义域内的某个区间而言的,是函数的局部性质而非整体性质。

性质1. 若在同一个区间,两个函数都是增函数,那么他们的和也是增函数;若两个函数都是减函数,那么他们的和也是减函数
注意,这是一个很重要的性质。那么两个减函数相减呢?相乘呢?结果还是减函数吗?一个增函数除以一个减函数呢?答案都是不确定。(为何?例如乘以一个负数。)因此同学们不要自己胡乱编定理,胡乱蒙,数学要学号每一步都要有理有据。
性质2.(复合函数的单调性) 若在区间`D`中,`f(x)`和`g(x)`的单调性相同,那么`f(g(x))`为增函数;若`f(x)`和`g(x)`的单调性相反,那么`f(g(x))`为件减函数
性质3.
奇函数在关于0对称的两个区间内增减性相同,偶函数在关于0对称的两个区间内增减性相反。
性质4:抽象函数的化简
定理:若`f(x)`为单调增函数(对于减函数也成立),那么:
`f(x_1 )\ltf(x_2 )⇔x_1\ltx_2`
`f(x_1 )\gtf(x_2 )⇔x_1\gtx_2`
`f(x_1 )=f(x_2 )⇔x_1=x_2`
这是非常重要的定理,我们经常使用这个定理来化简抽象函数。这是唯一一个同学们在高中阶段才接触到的化简(别的在初中就开始涉猎了)。
性质5:求最值
我们常利用函数的单调性(图像,单调性性质,导数)来求函数的最值。(除此之外还有不等式和几何这两种方向)
3) 周期性
周期性的定义:若函数`f(x)`的定义域是数集M,且有常数`T≠0`使得`f(x+T)=f(x)`,`∀x∈M`。那么我们称函数`f(x)`是以`T`为周期的周期函数

周期函数的性质:
1. 若常数`T≠0`是函数`f(x)`的周期, 那么`-T`也是函数`f(x)`的周期;
2. 若常数`T≠0`是函数`f(x)`的周期, 那么`nT(n∈Z,n≠0)`也是函数`f(x)`的周期;
3. 若`T_1,T_2 (T_1≠±T_2)`都是函数`f(x)`的周期,那么`T_1±T_2`也是函数`f(x)`的周期;
4. 周期函数`f(x)`的定义域`M`一定是无界集合;
最小正周期:周期函数`f(x)`的所有正周期中最小的一个,通常用`T^*`表示。
5. 若周期函数`f(x)`的最小正周期是`T^*`,那么`f(x)`的任何周期T一定是`T^*`的非零整数倍。
常见具有周期性的抽象函数:
函数`f(x)`的定义域是数集`M, ∀x∈M`(`a`为常数):
1. `f(x+a)=f(x)`,那么`f(x)`是以`T=a`为周期的函数;
2. 若`f(x+a)=-f(x)`,那么`f(x)`是以`T=2a`为周期的函数;
3. 若`f(x+a)=f(x-a)`,那么`f(x)`是以`T=2a`为周期的函数;
4. 若`f(x+a)=±1/f(x) `,那么`f(x)`是以`T=2a`为周期的函数;
5. 若`f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x) )`,那么`f(x)`是以`T=2a`为周期的函数;
6. 若`f(x+a)=-(1-f(x))/(1+f(x) )`,那么`f(x)`是以`T=4a`为周期的函数;
7. 若`f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x) )`,那么`f(x)`是以`T=4a`为周期的函数;
以前3个最为常用。
4) 对称性:
定理:对于函数`f(x)`,其定义域为`D`
若`∀x∈D,f(2a-x)=f(x)`,那么函数`f(x)`关于直线`x=a`轴对称
若`∀x∈D,f(2a-x)=2b-f(x)`, 那么函数`f(x)`关于点`(a,b)`中心对称

记忆方法:这个定理不用死记,利用其特殊化`a,b=0`,即函数为偶函数和奇函数来记忆即可。

我们可以继续扩展本章的思维导图了:

在我们继续品味概念之前,我们来做几个练习:

1. 把这句中文翻译为代数语言:
(1)`f(2x-5)`是奇函数(`x∈R`)
注意,我们要把`f(2x-5)`看作一个新的函数`g(x)=f(2x-5)`,`g(x)`为奇函数,根据定义,即`g(-x)=-g(x)`,即
`g(-x)=f(-2x-5)=-g(x)=-f(2x-5)`
因此翻译为:
`f(-2x-5)=-f(2x-5)`
(2) `f(2x-5)`关于点(`a,b`)中心对称
注意,我们要把`f(2x-5)`看作一个新的函数`g(x)=f(2x-5)`,`g(x)` 关于点(`a,b`)中心对称,即`g(2a-x)=2b-g(x)`
`g(2a-x)=f(2(2a-x)-5)=f(4a-5-2x)=2b-g(x)=2b-f(2x-5)`
即:
`f(4a-5-2x)=2b-f(2x-5)`

函数图像的几种常见变换(几何变换):
我们对函数图像(几何语言)可以做出以下同学们在初中就学习过的全等变换:
1. 平移变换
定理:将函数`y=f(x)`的图像向左平移`a`个单位(`a>0`),所得到的函数是`y=f(x+a)`;将函数`y=f(x)`的图像向右平移`a`个单位(`a>0`),所得到的函数是`y=f(x-a)`
口诀:左加右减

定理:将函数`y=f(x)`的图像向上平移`a`个单位(`a>0`),所得到的函数是`y=f(x)+a`;将函数`y=f(x)`的图像向下平移`a`个单位(`a>0`),所得到的函数是`y=f(x)-a`
口诀:上加下减

练习:将函数`y=f(2x-5)`的图像向右平移3个单位后,得出来得函数解析式是?
解答:用`y=g(x)=f(2x-5)`来理解这个函数,根据上面的定理,我们有:
`g(x-3)=f(2(x-3)-5)=f(2x-11)`
2. 对称变换
(1)轴对称变换(翻折变换)
定理:将函数`y=f(x)`沿着`x=a`轴翻折后所得到的函数为`y=f(2a-x)` ,特别的,当沿着`x=0`,即`y`轴,翻折后的函数为`y=f(-x)`
定理:将函数`y=f(x)`沿着`y=b`轴翻折后所得到的函数为`y=2b-f(x)`,特别的,当沿着`y=0`,即`x`轴,翻折后的函数为`y=-f(x)`
(2)中心对称变换(一种特殊的旋转)
定理:将函数`y=f(x)`的图像绕点(`a,b`)旋转180°后所得得函数为`y=2b-f(2a-x)`;即`y=2b-f(2a-x)`与`f(x)`关于点(`a,b`)中心对称。
我们的思维导图扩展如下:

接下来我们要研究一些常见的初等函数:
对这些函数的单调性,最值,和函数图像要非常了解。
初中已经学习了的一次函数,反比例函数,以及一元二次函数这里不再赘述,但同学们必须掌握(参见之后发布的初中数学部分)。

1. 对勾函数
定义:我们称形如`y=ax+b/x(a,b>0)`的函数为对勾函数
其图像大致如下:

由于`f(-x)=-ax-b/x=-f(x)`因此该函数是奇函数,我们只需要研究`x>0`即可
∵`ax>0,b/x>0⇒ax+b/x≥2\sqrt(ax∙b/x)=2\sqrt(ab)`
当且仅当`ax^2=b,x=\sqrt(b/a)`的时候等号成立。因此:
定理: 对勾函数`y=ax+b/x(a,b>0)`的最小值为`2\sqrt(ab)`,这时`x=\sqrt(b/a)`;
当`x>\sqrt(b/a)`的时候,`y=ax+b/x`中的“`ax`“起到主要作用,函数单调递增;
当`0\ltx\lt\sqrt(b/a)`时,`y=ax+b/x`中的“`b/x`“起到主要作用,函数单调递减。

2.幂函数
定义:我们称`y=f(x)=x^k,k∈Q`为幂函数
注意,`x^k`的系数为`1,k`是有理数
由于`k`是有理数,根据有理数的定义,可以写作`k=±p/q,p,q∈Z^+`,且`p,q`互质
函数图像:

其奇偶性和单调性取决于:`k\gt`0还是`k\lt0`,以及`k=±p/q`中`p,q`的奇偶性:
定理:
1.`k=p/q\gt0`的情况:
1) 若`p`为奇数,`q`为偶数时,函数只在`{x|x≥0}`有定义,函数在第一象限单调递增。函数既不是奇函数也不是偶函数;
2) 若`p`为奇数,`q`为奇数时,函数在`R`上有定义,函数在一,三象限单调递增。函数是奇函数;
3)若`p`为偶数,`q`为奇数时,函数在在`R`上有有定义,函数在第一象限单调递增,在第二象限单调递减。函数是偶函数;
2.若 `k=-p/q\lt0`, 那么:
1)函数在原点没有定义;
2)其在各个象限的单调性和`k=p/q\gt0`时的函数相反而奇偶性和`k=p/q\gt0`时的函数相同;

3.指数函数
定义:函数`y=f(x)=a^x, a\gt0,a≠1`叫做指数函数
指数函数的图像:

利用图像记忆以下定理:
1.若`a\gt1`, 函数`f(x)=a^x`在实数范围是单调递增函数;若`0\lta\lt1`, 函数`f(x)=a^x`在实数范围是单调递减函数;
2.`f(x)=a^x\gt0`且在`x`轴上方且恒过点`(0,1)`;

4. 对数函数
对数是高中阶段引入的,因此我们需要学习对数的基本概念和运算法则:
对数的定义:若`a^b=N(a>0,a≠1)`, 我们称`b`为以`a`为底`N`的对数,记做`b=log_a⁡N`。其中`a`叫做对数的底数,而`N`叫做真数。很明显,因为`a>0,a≠1`,所以`N>0`。 我们把以`10`为底数的对数叫做常用对数并且简单记为`lg`,即`lga=log_10⁡a` 以无理数`e=2.71828…`为底的对数成为自然对数并且简单记为`ln`,即`lna=log_e⁡a`
对数的性质和运算法则:
若`a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1,M>0,N>0`
1.`log_a⁡1=0,log_a⁡a=1;`
2.`log_a⁡(M∙N)=log_a⁡M+log_a⁡N`
3.`log_a⁡M^n=nlog_a M, log_(a^n )⁡M=1/n log_a⁡M`
4.`log_b⁡a=log_c⁡a/log_c⁡b` (换底公式)
5.`log_b⁡a=1/log_a⁡b `
6. `a^(log_a⁡N) =N`
对数函数的定义:我们称`y=log_a⁡x,x>0(a>0,a≠1)`为对数函数,其定义域是`(0,+∞)`。
对数函数的图像和性质:

借助图像记忆以下性质:
1.对数函数的定义域是(`0,+∞`),值域是`R`
2.对数函数必然经过点(`1,0`)
3.若`a>1`, 那么对数函数`y=log_a⁡x`在(`0,+∞`)为增函数;若`0 注:关于反函数(包括反三角函数),由于今年高考考纲不做要求,因此暂不列入。

5. 三角函数
三角函数也属于基本的函数。这一块知识很多,我们在下一节详细讲解。
我们进一步扩展思维导图如下: