数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）19.1.4

作者：本质教育魏旭东

祝大家新年快乐！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：我们遇到中文的时候，往往需要把它们“翻译”为数学的语言。大家常常听到的“数形结合”实际上就是“翻译”的一种，借助于直角坐标，几何可以“翻译”为代数，代数也可以“翻译”为几何。

特殊化：简单来说，就是用具体的简单数字代替变量（更进一步，研究题目前提/该条件的必要条件）。我们一般从最特殊、最极端的例子开始。常用于将抽象难以理解的题目特殊化为具体的例子来帮助我们真正理解题目，理解每一个已知数、条件的作用。我们有时需要借助特殊化的结论，有时则可以利用其方法。

盯住目标：即根据题目，试着联想相关的定理、定义、方法，并运用之，试着把已知，条件（前提）和目标联系起来，不断地通过置换目标来改造题目。任何一道题目都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建桥梁，问问自己，我们还有什么已知但没有使用吗？

三招的概念虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学

2019.1.4更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

2017全国Ⅱ卷

试卷第21题

已知函数 $f(x)=ax^2-ax-xlnx$ ，且 $f(x)\geq 0$ 。

（1）求 $a$ 的值；

（2）证明： $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ .

三招破题

（1）翻译：从函数表达式我们知道，定义域： $x>0$ ，由 $f(x)\geq 0$ 可翻译出 $f(x)_{min}\geq0$ ，

接下来我们把翻译出来的东西写出来并化简。

如何求最小值呢，这个题直接求导挺复杂的，我们用特殊化试试看。

特殊化：我们看看能不能取到一个 $x$ ，能令函数值为0，即可猜想它是最小值，找最特殊最极端的例子，显然是取 $1$ .

$f(1)=a-a-ln1=0$ ，找到了！

那这里我们是不是可以猜想，如果在 $1$ 的左边，函数单调递减，在右边单调递增，那么是不是满足了 $1$ 为最小值，且 $f(x)\geq 0$ 。

此时我们是不是能知道 $x=1$ 是最小值点，即 $f'(1)=2a-a-ln1-1=0$ ，

即 $a=1$ ，

但别着急，我们这里只是猜测，我们还需要验证是否如我们所猜测的。

当 $a=1$ 时， $f(x)=x^2-x-xlnx$ ，但是这个函数并不是我们想象的那么简简单单的两个单调区间，那怎么办，我们根据已知来化简试试能不能证明其非负性，如果可以，我们也不用管是否单调了，如果不行说明我们这样特殊化走不通。

$x^2-x-xlnx>0$ ，等价于 $x-1-lnx>0$ ，此时我么相当于将原函数简化了（因为定义域的缘故），我们来试试另一个函数好不好求。

$g(x)=x-1-lnx$ ， $g'(x)=1-\frac{1}{x}$ ，很显然在 $1$ 的左边，函数单调递减，在右边单调递增，那么 $g(x)\geq0$ 恒成立，故 $f(x)\geq0$ 恒成立。

综上： $a=1$ .

（2）先把我们的已知写出来（注意第一问已经可以当作已知了）：

$f(x)=x^2-x-xlnx$ ，且 $f(x)\geq 0$ ，定义域是 $(0,+∞)$

盯住目标：第一个小目标：证明 $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，如何去求函数的极大值点呐，是不是要求导。

$f'(x)=2x-lnx-2$ ，这一步还不能直接判断正负，再求导，

$f''(x)=2-\frac{1}{x}$ ，显然 $f'(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 单调减，在 $(\frac{1}{2},+∞)$ 单调增。

由第一问我们知道， $f'(1)=0$ ,为极小值点，那我们的目标是找到另外一个导函数的零点，判断其是否为唯一极大值点。

在极大值点的左边，导函数要大于0，在极大值点的右边，导函数要小于0，我们要去找到这个一个临界。

$f'(\frac{1}{2})<0$ ，因为 $f'(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 单调减，那么我们可以试试找一个比 $\frac{1}{2}$ 小的数，

因为有对数的存在，取自然数不好判断，题目最后其实提示你了，看第二个小目标，

我们取 $f'(e^{-2})=2e^{-2}$ ，显然是正数，成功。

故在 $(e^{-2},\frac{1}{2})$ 上有一个极大值点，由于其单调性，显然唯一，故证明。

第二个小目标：证明 $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ ，我们在第一个小目标都把这个极大值点的范围写出来了，那我们这里直接套用看看符合与否即可。

$x_0\in(e^{-2},\frac{1}{2})$ ，且 $f'(x_0)=2x_0-2-lnx_0=0$ ，

那么 $f(x_0)=x_0^2-x_0-x_0lnx_0=x_0^2-x_0-x_0(2x_0-2)$ ，化简一下，

得到 $f(x_0)=-x_0^2+x_0$ ，这是个二次函数，有范围的，而正好对称轴是 $x=\frac{1}{2}$ ，

故 $f(x_0)<f(\frac{1}{2})=2^{-2}$ ，还有左边怎么办？如果再用这个二次函数显然找不到 $e^{-2}$ ，

怎么办？

我们再用特殊化试试哪个函数值等于 $e^{-2}$ 就可以了嘛。

因为存在表达式里存在平方，我们可以试试 $f(e^{-1})$ ，

$f(e^{-1})=e^{-2}-e^{-1}-e^{-1}lne^{-1}=e^{-2}$ ，哇，我们又成功找到了。

接下来是不是只需要证明 $f(x_0)>f(e^{-1})$ ，

显然我们要从刚才导函数那里入手， $f'(e^{-1})>0$ ，结合刚才的判断， $e^{-1}$ 显然会在 $x_0$ 左边，此时函数在 $(0,x_0)$ 单调递增，故证明 $f(x_0)>f(e^{-1})$ .

综上， $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ .

（这个题可以说是近年来导数比较难的题目了，其实是需要考虑的多，并不是特别深奥）

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