数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）19.1.7 Zeyu(李泽宇)

作者：本质教育魏旭东

祝大家新年快乐！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：我们遇到中文的时候，往往需要把它们“翻译”为数学的语言。大家常常听到的“数形结合”实际上就是“翻译”的一种，借助于直角坐标，几何可以“翻译”为代数，代数也可以“翻译”为几何。

特殊化：简单来说，就是用具体的简单数字代替变量（更进一步，研究题目前提/该条件的必要条件）。我们一般从最特殊、最极端的例子开始。常用于将抽象难以理解的题目特殊化为具体的例子来帮助我们真正理解题目，理解每一个已知数、条件的作用。我们有时需要借助特殊化的结论，有时则可以利用其方法。

盯住目标：即根据题目，试着联想相关的定理、定义、方法，并运用之，试着把已知，条件（前提）和目标联系起来，不断地通过置换目标来改造题目。任何一道题目都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建桥梁，问问自己，我们还有什么已知但没有使用吗？

三招的概念虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学

2019.1.7更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

2017全国Ⅱ卷

试卷第23题

已知 $a>0$ ， $b>0$ ， $a^3+b^3=2$ ，证明：

（1） $(a+b)(a^5+b^5)\geq4$ ；

（2） $a+b\leq2$

三招破题

（1）盯住目标：证明这个不等式，那么我们试试能不能把它与我们的已知联系起来。

我们已知 $a^3+b^3=2$ ，那么我们看看能不能把这个式子揉入目标中。

化简： $(a+b)(a^5+b^5)=a^6+ab^5+a^5b+b^6$

好像如果利用完全平方的话，就可以揉进去了。

$(a^3+b^3)^2-2a^3b^3+ab(a^4+b^4)$

这时候你会发现第一项为2的平方即4了，如果能证明后两项之后大于等于0是不是就OK了。

这里的解决方法就非常多了，就不局限大家的思维了， $a$ 可以用 $b$ 表示，同样你也可以化简这个式子，配方，求导，很多种方法，就不赘述了。

（2）同样和第一问类似，将已知揉进目标式子，怎么办，显然如果目标是3次方，那么就与已知联系起来了。

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=2+3ab(a+b)$

OK，那么关键是如何构建出目标不等式，

你所学过的把等式变成不等式的方法，均值不等式是不是最常见的。

怎么办， $ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$ ，这个东西与 $a+b$ 是不是又构成了3次方，美妙~

$(a+b)^3=2+3ab(a+b)\leq2+3\frac{(a+b)^3}{4}$

故 $(a+b)^3\leq8$ ，所以 $a+b\leq2$ .

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