数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.12.12

作者：本质教育魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：我们遇到中文的时候，往往需要把它们“翻译”为数学的语言。大家常常听到的“数形结合”实际上就是“翻译”的一种，借助于直角坐标，几何可以“翻译”为代数，代数也可以“翻译”为几何。

特殊化：简单来说，就是用具体的简单数字代替变量（更进一步，研究题目前提/该条件的必要条件）。我们一般从最特殊、最极端的例子开始。常用于将抽象难以理解的题目特殊化为具体的例子来帮助我们真正理解题目，理解每一个已知数、条件的作用。我们有时需要借助特殊化的结论，有时则可以利用其方法。

盯住目标：即根据题目，试着联想相关的定理、定义、方法，并运用之，试着把已知，条件（前提）和目标联系起来，不断地通过置换目标来改造题目。任何一道题目都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建桥梁，问问自己，我们还有什么已知但没有使用吗？

三招的概念虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学

2018.12.12更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

2017全国Ⅰ卷

试卷第20题

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，四点 $P_1(1,1)$ ， $P_2(0,1)$ ， $P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ , $P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆上.

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A、B$ 两点，若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，证明： $l$ 过定点.

三招破题

（1）翻译：四点中有三点在椭圆上，显然，由于椭圆的对称性， $P_3、P_4$ 关于 $y$ 轴对称，那么只要其中某个点在椭圆上，另一个也必然在，而结合题目说的恰有三点在椭圆上，所以 $P_3、P_4$ 必然均在椭圆上；

那么还剩两个点，你发现横坐标为1这个东西有两个点了，那么其中一个在椭圆上，另一个必然不在，故 $P_1$ 不在椭圆上。

盯住目标：求椭圆方程，那么关键是 $a、b$ ，显然通过三个在椭圆上的点中的任意两个代入方程即可求出来，那么这里不再赘述。

答案为： $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

（2）翻译：设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A、B$ 两点，若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ 那么是不是把这句话用数学语言表示出来呀。

设出 $l$ 的方程，然后与椭圆方程联立并设出 $A、B$ 两点坐标对吧，然后用坐标表示斜率和为 $-1$

①当 $l$ 斜率不存在时，设 $l:x=m$ ， $A(m,y_A)$ ，则 $B(m,-y_A)$ ，则

$k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_A-1}{m}+\frac{-y_A-1}{m}=\frac{-2}{m}=-1$ ，故 $m=2$ ，

所以此时 $l$ 恒过椭圆的右顶点 $(2,0)$ ，但是此时就不符合题意了，此时直线与椭圆只有一个交点，故斜率必然存在；

②当 $l$ 斜率存在时，设 $l:y=kx+t(t\ne 1)$ ， $A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$

显然，接下来我们就是联立，运用韦达定理化简了，都很模式化的东西了。

联立和韦达定理的过程这里就不再赘述了，其实这个解析几何的题还是很简单的。

$k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_1-1}{x_1}+\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{1+4k^2}{\frac{4t^2-4}{1+4k^2}}=\frac{8k(t-1)}{4(t+1)(t-1)}=-1$

又因为 $t\ne 1$ （这个条件是因为直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点）

则 $t=-2k-1$ ，此时 $\Delta =-64k$ ，即存在 $k$ 使得判别式大于0成立，故符合题意。

故 $l:y=kx-2k-1$ ，那么我们接下来的目标就是证明这个方程过定点。

显然当 $x=2$ 时， $y=-1$ ，

所以，直线恒过 $(2,-1)$ .

(各位，解析几何的12分我希望你们细心一点，稳稳拿到手)

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