数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.11.30

作者：本质教育魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：我们遇到中文的时候，往往需要把它们“翻译”为数学的语言。大家常常听到的“数形结合”实际上就是“翻译”的一种，借助于直角坐标，几何可以“翻译”为代数，代数也可以“翻译”为几何。

特殊化：简单来说，就是用具体的简单数字代替变量（更进一步，研究题目前提/该条件的必要条件）。我们一般从最特殊、最极端的例子开始。常用于将抽象难以理解的题目特殊化为具体的例子来帮助我们真正理解题目，理解每一个已知数、条件的作用。我们有时需要借助特殊化的结论，有时则可以利用其方法。

盯住目标：即根据题目，试着联想相关的定理、定义、方法，并运用之，试着把已知，条件（前提）和目标联系起来，不断地通过置换目标来改造题目。任何一道题目都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建桥梁，问问自己，我们还有什么已知但没有使用吗？

三招的概念虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学

2018.11.30更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

2017全国Ⅰ卷

试卷第13题

已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________.

三招破题

翻译：题目里的已知条件其实能翻译出：a·b=1。

盯住目标：怎么样我们才能把目标和已知联系起来呢？目标是求向量的模，然后这个向量并不能直接用坐标表示出来，怎么办呢？

是不是我们学过模的平方等于向量的平方，如果我们把目标置换成平方之后，哎，你会发现就可以和我们的已知联系起来了。

|a+2b| $^2$ =(a+2b) $^2$ =a $^2$ +4a·b+4b $^2$ =4+4+4=12

所以我们的|a+2b| $=2\sqrt{3}$

是不是非常简单而有逻辑啊

试卷第14题

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 $\angle MAN=60°$ ，则C的离心率为_______．

三招破题

翻译：自然而然，将文字翻译成图形：

为什么要做一条垂线呢？因为我们知道角度，求解三角形时放在直角三角形中比较简单。

盯住目标：求双曲线的离心率，想办法把它和我们的已知结合以来咯。

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ ，如果我们能求出来 $\frac{b^2}{a^2}$ ，是不是就搞定。

因为A是右顶点，所以|OA|=a， $\angle MAN=60°$ ，M、N是与圆的两个交点，显然|AM|=|AN|=b，

在直角三角形OPA中，显然有 $|AP|=\frac{\sqrt{3}}{2}b$ ， $|OP|=\sqrt{a^2-\frac{3}{4}b^2}$

怎么和目标联系起来呢

显然，出现比值，正切值可以办到，正好有两个直角三角形，利用相等构建出现我们的目标。

$tan\theta=\frac{b}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{\sqrt{a^2-\frac{3}{4}b^2}}$ ，

解得 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{3}$ ，故 $e=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

看似很难的一个题，其实我们不断的置换目标加之翻译就能解决。

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