数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.12.10

作者：本质教育魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：我们遇到中文的时候，往往需要把它们“翻译”为数学的语言。大家常常听到的“数形结合”实际上就是“翻译”的一种，借助于直角坐标，几何可以“翻译”为代数，代数也可以“翻译”为几何。

特殊化：简单来说，就是用具体的简单数字代替变量（更进一步，研究题目前提/该条件的必要条件）。我们一般从最特殊、最极端的例子开始。常用于将抽象难以理解的题目特殊化为具体的例子来帮助我们真正理解题目，理解每一个已知数、条件的作用。我们有时需要借助特殊化的结论，有时则可以利用其方法。

盯住目标：即根据题目，试着联想相关的定理、定义、方法，并运用之，试着把已知，条件（前提）和目标联系起来，不断地通过置换目标来改造题目。任何一道题目都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建桥梁，问问自己，我们还有什么已知但没有使用吗？

三招的概念虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学

2018.12.10更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

2017全国Ⅰ卷

试卷第19题

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位： $cm$ ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ .

（1）假设生产状态正常，记 $X$ 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件数，求 $P(X\geq1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96

10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02

9.22 10.04 10.05 9.9

经计算得 $\bar{x}=\sum_{i=1}^{16}{x_i}=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{x_i}^{16}{(x_i-\bar{x})^2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{x_i}^{16}{(x_i^2-16\bar{x}^2)}}\approx0.212$ ，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，

$i=1,2,……,16$

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\tilde{\mu}$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\tilde{\sigma}$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ （精确到0.01）。

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma)$ ，则 $P(\mu-3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.9974$

$0.9974^{16}\approx0.9592,\sqrt{0.008}\approx0.09$ .

（这题是高考里算是很难的一道概率题目了，这题要求对正态分布的定义掌握透彻，如果对各类分布和各种字母不熟悉的同学请利用费曼学习法，巩固基础知识。）

三招破题

（1）盯住目标：求 $P(X\geq1)$ 及 $X$ 的数学期望，我们看，显然 $X$ 可以从0取到16，即它是小概率事件，但是它仍有可能发生。并且显然 $X$ 服从二项分布（注意与尺寸符合正态分布区分开来，如果不懂的同学请复习分布模型）所以我们如果直接计算 $P(X\geq1)$ ，需要从1算到16，非常繁琐。

那怎么办，从0取到16呀朋友们，我计算0的，然后用1减去这个东西，是不是就得到我们的 $P(X\geq1)$ 。

题目已经把在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 里的概率写出来了（通常考试都会给出正态分布的各种数据，所以同学们看到这个要觉得高兴呀），那么不在这个范围0里的概率显然是0.0026

故 $P(X=0)=C_{16}^{0}(1-0.9974)^00.9974^{16}\approx0.9592$

（这些计算同学们其实是可以口算的，题目附注里都已经把复杂的数据告诉我们了）

故 $P(X\geq1)=1-P(X=0)=0.0408$

因为 $X\sim B(16,0.0026)$ ，故 $EX=16\times 0.0026=0.0416$

（2）（Ⅰ）

盯住目标：说明监控方法的合理性，怎么说明，我们联想，监控方法是只要零件尺寸出现在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 外，我们就会检查生产流程，我为什么检查，因为出错了嘛，刚才我们第一问都写出来了，出错的概率的非常之小，那么只要你出错了，很有可能就是生产过程出毛病了嘛，很简单对吧。

同学们组织语言利用概率回答即可。

（Ⅱ）

盯住目标：首先要判断是否需要检查生产流程。那结合我们刚才的第二问，是不是需要判断这16个零件尺寸是否有出现在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 外的。

那么我们就需要确定 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值，从而确定范围。

翻译：用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\tilde{\mu}$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\tilde{\sigma}$ （这些值题目已经全部告诉你了），故

$\mu-3\sigma=9.97-3\times 0.212=9.334，\mu+3\sigma=9.97+3\times 0.212=10.606$

所以我们的范围是 $(9.334,10.606)$

显然，9.22这个数据不在这个范围里面，所以我们需要检查。

OK，剔除9.22， $\mu=\frac{9.77\times 16-9.22}{15}=10.02$ .（注意计算技巧哈）

接下来 $\sigma$ 小编就不写出具体过程了哈，就是方差的运算，给你送分的。（小编教你们一个小技巧，题目附注里有 $\sqrt{0.008}\approx0.09$ ，注意，我们其余数据都用上了，就差这个了对吧，题目不可能白给你数据，我们算 $\sigma^2$ ，目标显然是需要开根号的，所以，这个0.008显然是 $\sigma^2$ 的结果）

$\sigma^2=……\approx0.008$

故 $\sigma\approx0.09$ .

（最终这个看似挺难的题目我们其实只要掌握好基础知识，其实还是送分的）

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