数学三招,招招破高考(每周一、三、五更新新篇)18.10.24

作者:本质教育 魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦!!!

每周一、三、五更新新篇,将会从18年高考开始,致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式,提供思维能力,打破固有的刷题和死记硬背模式,让学生冲刺高考数学的140+。

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数学三招:翻译、特殊化、盯住目标

翻译:文字、数学语言、图形,将题目中出现的这三者进行合理的相互间转化。

特殊化:根据题目或者选项的限制条件,取一些特殊值或特殊的式子,寻找特殊规律,再推及一般规律,在高难度的题中可以用特殊化进行猜想。

盯住目标:紧盯目标,联想相关的定理、性质、公式,与题目已知联系起来,进行解题,在难题中有时候也可以用盯住目标联想公式进行合理猜想。

三招虽然简单易懂,但是如果要熟练运用,难度还是很大的,所以,也就有了我们本质教育高中数学。

 

2018.10.24更新

(过于简单的题目不再赘述,这里我们只选取稍微凸显思考的题)

选做题部分

在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为x=cosθ和y=sinθ,(θ为参数),过点(0, -\sqrt{2} ),且倾斜角为α的直线 l 与⊙O交于A、B两点。
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。

 

三招破题

(1)盯住目标:求α取值范围,那么先搞清楚α是什么,是l的倾斜角,那相当于求l的斜率,那么l的斜率从哪里来,注意两个交点A和B。

翻译:l过点(0, -\sqrt{2} ),根据直线的定义,我们考虑斜率存在和不存在两种情况。

①α= \frac{\pi}{2} 时,显然l与 \odot O 交与两点,符合题意。

②α \ne \frac{\pi}{2} 时,设l:y=kx-\sqrt{2},要使它与\odot O有两个交点,则圆心到l距离必须小于半径(通过参数方程可以看出,r=1),即 d=\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{k^2+1}}<1 ,得 k∈(-∞,-1)\cup(1,+∞)

则因为tanα=k,则 α∈(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}) ,结合α= \frac{\pi}{2} 时,则 α∈(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})

 

(2)盯住目标:求中点P轨迹的参数方程,相当于把P点的横纵坐标用参数表示出来。

显然P不可能无中生有变出它的坐标,它是AB中点,那我们需要先把A和B对应的参数表示出来。l的参数方程为: x=tcosα和y=-\sqrt{2}+tsinα (t是参数,α∈(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}))。

我们设A、B、P分别对应的参数为: t_A、t_B、t_P ,则 t_P=\frac{t_A+t_B}{2} ,我们也无法求出A和B的参数分别等于多少,但是它们都是圆上的点,那么有两点,目标是t_P=\frac{t_A+t_B}{2},是不是想到韦达定理,OK,(注意注意!根据点的参数方程定义,我们最后P的轨迹肯定是以α为参数的,那我们需要想办法把α和t联系起来,最后做代换,所以我们将l的参数方程代入圆的直线方程,得到带有AB的参数的二次方程,从而利用韦达定理)

得到: t^2-2\sqrt{2}sinα+1=0 ,则 t_A+t_B=2\sqrt{2}sinα,所以t_P=\sqrt{2}sinα

则因为P在AB上,所以将这里的 t_P 代入l的参数方程,从而达成我们刚才括号里写的目标,t和α实现转换了,那么得到: x=t_Pcosα和y=-\sqrt{2}+t_Psinα ,代入得:

x=\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α和y=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α (α为参数,α∈(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}))。

 

(这个题和常见的不太一样,要想办法实现参数的转化)

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