数学三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.10.19

作者：本质教育魏旭东

本质教育高考数学破题解析开课啦！！！

每周一、三、五更新新篇，将会从18年高考开始，致力于用三招将高考数学中具有代表性的题逐个击破。

本质教育高中数学致力于培养学生的思维方式，提供思维能力，打破固有的刷题和死记硬背模式，让学生冲刺高考数学的140+。

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数学三招：翻译、特殊化、盯住目标

翻译：文字、数学语言、图形，将题目中出现的这三者进行合理的相互间转化。

特殊化：根据题目或者选项的限制条件，取一些特殊值或特殊的式子，寻找特殊规律，再推及一般规律，在高难度的题中可以用特殊化进行猜想。

盯住目标：紧盯目标，联想相关的定理、性质、公式，与题目已知联系起来，进行解题，在难题中有时候也可以用盯住目标联想公式进行合理猜想。

三招虽然简单易懂，但是如果要熟练运用，难度还是很大的，所以，也就有了我们本质教育高中数学。

2018.10.19更新

（过于简单的题目不再赘述，这里我们只选取稍微凸显思考的题）

试卷第20题

已知斜率为k的直线l与椭圆 $C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M（1,m）（m>0）。
（1）证明：k< $-\frac{1}{2}$ ；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0，证明：|FA|，|FB|，|FP|成等差数列，并求该数列的公差。

三招破题

（1）盯住目标：我们要证明l的斜率小于 $-\frac{1}{2}$ ，那我们通过翻译首先要把k找出来，建立式子找到关系。

翻译：AB两点不是固定的，从而M也不固定，把题中条件翻译成图像会，你会发现m的取值与k有关，因为k变了，意味着直线变了，直线变了M就变了。

那么试试能不能求出m，这时候看到ABM点，是不是联想到课本里很经典的点差法。

设 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ，代入椭圆方程得到两个式子，相减后有：

$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0$

即 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=-\frac{3}{4}\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$ ，又因为M(1,m)是AB中点，那么有 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=2m$ ，从而有 $k=-\frac{3}{4m}$ ，我们刚才的目标找到了，

那么k已经与m建立关系了，怎么才能证明k小于 $-\frac{1}{2}$ 呢，那是不是需要m小于 $\frac{3}{2}$ ，怎么出现呢，题中已经有了m>0，而显然M是在椭圆内的，一定是有个范围的，我们不妨看看M在椭圆上是什么，将M坐标代入椭圆方程，得到 $m=\frac{3}{2}$ ，那正好和我们的目标联系起来了，所以得证。