排列组合在高中是非常重要的一章（哪怕高考考得不多），因为这一章是概率论的基础。无论同学们以后从事什么职业，概率论都是非常有用的一个学问。如何学好高中数学排列组合这部分的内容？毕竟富贵险中求，而风险管理（riskmanagement）就是和概率息息相关的学问了,我将在下一篇“如何学好高中数学概率论”的文章中探讨下我认为的成功三要素，结论和你们多数人想象的出入很大。
事实上，排列组合这一章很多同学都抱怨很困难，特别容易出错。实际上，出现这个的原因很大程度上是现有的很多教材在描述加法原理和乘法原理（特别是后者）是有问题的，因此导致同学们在没有满足适用条件的情况下胡乱使用这两个原理，从而导致解题错误。
不信？先解几道题吧：
如何学好高中数学排列组合：例题
1. 有4位学生各写一张贺卡，放在一起，然后每人从中取出一张，但不能取自己写的那一张贺卡，不同的取法有（）种？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
2．（2017•浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
3. （2010•天津高考）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
答案分别为：1.A 2. 660 3. B
你做对了吗？
如何学好高中数学排列组合：例题解析
在讲解这几题之前，我们先把加法和乘法原理好好解释清楚：
无论是加法原理(additionprinciple)还是乘法原理(multiplicationprinciple)都是计数法(countingmethod)的基本原理。计数法，顾名思义，就是基本的数数–我们一开始接触数学就知道的事情。
例如，下图有多少个圆？
我希望同学们别忘了这个幼儿园孩子也会的计数法：
当计数量不大的时候，我们可以把每一个元素写下来，像个孩子一样去数数。
当计数量很大，这时一个一个一个的数显然不现实（当然，可以编程交给计算机），因此我们需要加法原则和乘法原则，乃至更多的计数法定理的帮助。
加法原则(Addition Principle):
因此在求解计数问题的时候，运用我们的第三招“盯住目标”联想到加法原理，记住核心就是分类。
现在我们来回过头来看看第一题：
1. 有4位学生各写一张贺卡，放在一起，然后每人从中取出一张，但不能取自己写的那一张贺卡，不同的取法有（）种？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
……
以此类推
这个表实际上就是一个反复分类的过程，分类的过程中我们保证了无遗漏，无重叠，最后我们有9种分配方法。这是一个很好的考察加法原理的题目，关键就在于考察考生是否理解了加法原理和乘法原理的核心就是分类。
如果你做错了，好好分析为什么做出了，你满足了使用加法原理的条件了吗？
接下来我们来看乘法原理(Multiplication Principle):
你们的教科书上一般是这样描述的：
我接下来用两个例子来阐明这种描述的问题：
我们直接套用上面描述的乘法原理：
第1步：取第1个球，有4种方法
第2步：取第2个球，由于剩下3个球，有3种方法
第3步：取第3个球，由于剩下2个球，有2种方法
因此总共有：种方法，即24种不同的“排”。
这个答案是正确的，我们接着看例2
我们做这件事情的方法还是一样的呀：
第1步：取第1个球，有4种方法
第2步：取第2个球，由于剩下3个球，有3种方法
第3步：取第3个球，由于剩下2个球，有2种方法
因此总共有：种方法，即24种不同的“堆”。
这个答案明显是错误的，最起码的，由于不考虑顺序，“堆”的种类一定比“排”的种类要少，而不可能相等。
那么这种解法错在哪儿？我们一字不差的使用教科书上的乘法原理呀？
事实上，同学们要记做，在数学上，乘法就是加法来定义的法则，即乘法就是加法。例如+3
因此，在我们使用乘法原理的时候，事实上也是一个分类的过程，而这两个条件1）无遗留 2）无重叠也必须要满足，这是使用乘法原理的前提！这就是很多同学在使用乘法原理的时候经常出错的原因所在，不怪你们，教科书的编排是有问题的。
我们用这两个例子说明：
在使用乘法原理的时候，我们实际上是在分类– 我们把“排”和“堆”分类
“第一步有4种方法”实际上就是说，我们把“排”和“堆”分成4类，如下图
理解了乘法原理的使用条件，我们接下来可以看看后面两道高考题：
2．（2017•浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
思路：首先仍然是第一招翻译：
而目标是求不同选法的个数– 即计数问题。利用第三招，盯住目标，联想加法原理或乘法原理。而无论是用加法原理还是乘法原理，核心都是分类，这题的条件之一就是服务队至少有1名女生，我们由此入手分类：
第一类：服务队有且仅有1个女生
第二类：服务队有且仅有2个女生
这两类包含了满足条件的所有情况（无遗漏），而且这两类之间无交集（无重叠），因此我们可以利用加法原理。
对于第一类，我们可以先选服务队的女生，由于女生不同服务队一定不同（无论剩下的男生如何选），因此一定是不同的选法，我们复合无重叠的条件，因此可以使用乘法原理：
因此根据加法原理，两类一共660种方法。
你做对了吗？如果做错了，好好分析为什么做出了，你满足了使用加法原理和乘法原理的两个条件了吗？
3. （2010•天津高考）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）
思路： 这题可以有至少3种不同的解法，因为篇幅的关系，我这里写一种和标准答案不同的。
你做对了吗？如果做错了，好好分析为什么做出了，你满足了使用加法原理和乘法原理的两个条件了吗？
我希望通过这篇文章，说清楚加法原理和乘法原理的使用条件，这也是如何学好高中数学排列组合的前提。现有的教材如果没有说清楚的建议修改，从此以后同学们不应该再有做错的排列组合题目。
作者李泽宇老师简介：。 本科就读于南京大学，MBA就读于ESSEC和芝加哥大学; 大四于新东方教授GRE/GMAT/TOEFL （part-time）, 在巴黎MBA-Center教授GMAT 2008-2009 Amgen南欧区管理团队商业和金融分析师 2010-2016 汇丰（香港）股票衍生品交易组联席总监 2015年成立本质教育有限公司，任CEO
